Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей. Перпендикулярность прямых в пространстве

02.03.2024

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

Если, то проходит через перпендикуляр к.

Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны () (рис.28)

α – плоскость, в – перпендикулярная ей прямая, β – плоскость, проходящая через прямую в , и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β.

Следствие. Если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

Задача 1 . Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

Доказательство:

По аксиоме I существует точка, не принадлежащая прямой а. По теореме 2.1через точку В и прямую а можно провести плоскость α. (рис.29) По теореме 2.3 через точку А в плоскости α можно провести прямую а. По аксиоме С 1 существует точка С , не принадлежащая α. По теореме 15.1 через точку С и прямую а можно провести плоскость β. В плоскости β по теореме 2.3 через точку а можно провести прямую с а. Прямые в и с по построению имеют только одну общую точку А и обе перпендикулярны

Задача 2. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние3, 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

АС = 5,8м, ВD = 3,9 м, АВ - ? (рис.30)

АЕ = АС – СЕ = АС – ВD = 5,8 – 3,9 = 1,9 (м)

По теореме Пифагора из ∆ АЕВ получаем:

АВ 2 = АЕ 2 + ЕВ 2 = АЕ 2 + СD 2 = (1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (м 2)

АВ = = 3,9 (м)

Задачи

Цель . Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы .

1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

2. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если:

1) АВ = 3см, ВС = 7см, АD = 1,5 см;

2) ВД = 9 см, АD = 5cм, ВС = 16см;

3) АВ = в, ВС = а, АD =d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Точка А находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

4. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

5. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, полагая, что проволока не провисает.

6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найти проекции наклонных.

7. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.

8. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите

расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

10. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек а и В до плоскости равны: 1) 3, 2 см и 5, 3 см;7, 4 см и 6, 1 см; 3) a и в.

11. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

12. Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 0,5 м и 0, 3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость..

13. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость. Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.

14. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м; 3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, ВС = в, СD = с.

15.Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если АВ = 2 м, СА 1 = 3 м, СВ 1 = 7 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника

16. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если А 1 С = 4 м, АА 1 = 3 м, СВ 1 = 6 м, ВВ 1 = 2 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника.

Понятие перпендикулярных плоскостей

При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $.

Определение 1

Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Определение 2

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).

Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Теорема 1

Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.

Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует следующая теорема.

Теорема 2

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.

Доказательство.

Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)

Рисунок 3.

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.

Теорема доказана.

Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).

Рисунок 4.

Решение.

По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.

Пример 2

Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.

Доказательство.

Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).

Рисунок 5.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$.

Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому плоскость, перпендикулярную к заданной, можно провести через прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, или перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.

Изображенные на рис. 4.12 плоскости (плоскость треугольника АВС и плоскость Р) взаимно перпендикулярны, так как плоскость Р перпендикулярна к прямой А1, лежащей в плоскости треугольника. Проекции плоскости P, проходящей через прямую с проекциями m 2 n 2 , m 1 n 1 и перпендикулярной плоскости, заданной проекциями a 2 b 2 c 2 , a 1 b 1 c 1 треугольника, показано на рис. 4.12.

Построение: 1. Провести главные линии плоскости, С1 - горизонталь, С2 - фронталь.

2. Через произвольную точку Е (расположенную вне треугольника АВС) провести прямую EF перпендикулярно главным линиям плоскости (c 2 f 2 перпендикулярна c 2 2 2 и c 1 f 1 перепендикулярна с 1 1 1).

3. Через точку N провести произвольно прямую ЕМ, пересекающуюся с EF, получим плоскость Р заданную двумя пересекающимися прямыми(ЕМ Х EF).

Таким образом плоскость Р(МЕ Х EF) перепендикулярна плоскости Q(треугольник АВС).

Следует заметить, что у взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения их одноименные следы никогда не перпендикулярны. Но если одна из заданных плоскостей (или обе) является плоскостью общего положения, то взаимная перпендикулярность на эпюре одной пары их следов свидетельствует о перпендикулярности плоскостей в пространстве.

18)Прямую линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум их общим точкам. Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или точки пересечения прямой на каждой из плоскостей с другой плоскостью

Последовательность построения:

Линию пересечения двух плоскостей можно найти применяя при решении вспомогательные секущие плоскости. Обычно выбирают проецирующие плоскости (часто горизонтальные или фронтальные)

Выбирают произвольную секущую вспомогательную горизонтальную плоскость Ф1 она пересекает заданные плоскости по прямым линиям (12и34) которые (на п1 пересекаются в точке к)

Вторая секущая горизонтальная плоскость пересекает заданные плоскости так же по горизонталям они в свою очередь пересекаются в точке Е

Прямая КЕ является линией пересечения заданных плоскостей.

Рассмотрим решение этой задачи на плоском чертеже.

1-й этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость - посредник ("), в которую заключена сторона AB треугольника ABC.

2-й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскости-посредника (") и плоскости DEK.

3-й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB.

Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость  ("), в которую заключена сторона AC треугольника ABC.

Построения аналогичны предыдущим.

Определение видимости на плоскости H выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек 4 и 8

Точка 4 расположена над точкой 8 (4" и 8"), поэтому на плоскости H часть треугольника DEK, расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 8. С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 определена видимость на плоскости V.

Пересечение двух фронтально проецирующих плоскостей (?)

Пересечение двух горизонтально проецурующих плоскостей (?)

19)Разрезом называется изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими плоскостями, при этом мысленное рассечение предмета относиться только к данному разрезу и не влечет за собой изменение других изображений того же предмета. На разрезе показывают то, что расположено в секущей плоскости и то, что расположено за ней.

В зависимости от числа секущих плоскостей разрезу подразделяются на:

Простые (при одной секущей плоскости)

Сложные (при нескольких секущих плоскостях)

В зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекции разрезы разделяются на:

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ – секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекции

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ - секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции

НАКЛОНЫЕ – секущая плоскость некоторый непрямой угол с горизонтальной плоскостью =) ВЕРТИКАЛЬНЫЙ разрез называют фронтальным если секуща плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций. И профильным если секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.

СЛОЖНЫЕ разрезы бывают ПРОДОЛЬНЫМИ, если секущии плоскости направлены вдоль длинны или высоты предмета. И ПОПЕРЕЧНЫМИ ЕСЛИ секущие плоскости направлены ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО длинне или высоте предмета.

СТУПЕНЧАТЫМИ – если секущее плоскости параллельны между собой

ЛОМАНЫМИ – если секущие плоскости пересекаются между собой.

МЕСТНЫЕ разрезы служат для выявления внутреннего строения предмета в отдельном ограниченном месте. МЕСТНЫЙ РАЗРЕЗ выделяется на виде сплошной, волнистой, тонкой линией.

Обозначение разрезов – Положение секущей плоскости указывают разомкнутой линией сечения. Начальный и конечный штрихи линии сечения не должны пересекать контур соответствующего изображения. На начальном и конечном штрихе нужно ставить стрелки указывающие направление взгляда Стрелки должны наноситься на расстоянии 2…3 мм от внешнего конца штриха.

ПРИ СЛОЖНОМ РАЗРЕЗЕ штрихи разомкнутой линии сечения проводят так же у перегибов линии сечения.

ОКОЛО стрелок, указывающих направление взгляда, со внешней стороны угла наносят прописные буквы русского алфавита. Буквенные обозначения присваиваются в алфавитном порядке без повторений и без пропусков.

Сам разрез должен быть отмечен надписью по типу А-А

Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, а разрез выполнен на месте соответствующего вида в проекционной связи, то для горизонтальных, фронтальных и профильных разрезов отмечать положение секуще плоскости не нужно и разрез надписью не сопровождается.

Если контурная линия предмета совпадает с осью симметрии то границу между видом и разрезом указывают волнистой линией которую проводят так, чтобы сохранилось изображение ребра.